Question

12．已知直線l：x-y+3=0和圓C：（x-1）²+y²=1，P為直線l上一動點，過P作直線m與圓C切于點A，B．
（Ⅰ）求|PA|的最小值；
（Ⅱ）當|PA|最小時，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求|PA|的最小值，即求|PC|的最小值，求出C到直線的距離，即可求|PA|的最小值；
（Ⅱ）當|PA|最小時，求出P的坐標，可得以CP為直徑的圓的方程，即可求直線AB的方程．

解答 解：（Ⅰ）求|PA|的最小值，即求|PC|的最小值，即C到直線的距離d=$\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴PA|的最小值為$\sqrt{8-1}$=$\sqrt{7}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ），直線CP的方程為y-0=-（x-1），即x+y-1=0，
與直線l：x-y+3=0聯(lián)立，可得P（-1，2），
以CP為直徑的圓的方程為x²+（y-1）²=2
與圓C相減可得直線AB的方程為2x-2y-1=0．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，考查點到直線距離公式的運用，屬于中檔題．