Question

20．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）的極大值為7；當(dāng)x=3時(shí)，f（x）有極小值．
求（1）a，b，c的值；
（2）函數(shù)f（x）的極小值．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)楫?dāng)x=-1時(shí)，f（x）有極大值，當(dāng)x=3時(shí)，f（x）有極小值，所以把x=-1和3代入導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)都等于0，就可得到關(guān)于a，b，c的兩個(gè)等式，再根據(jù)極大值等于7，又得到一個(gè)關(guān)于a，b，c的等式，三個(gè)等式聯(lián)立，即可求出a，b，c的值．
（2）因?yàn)楹瘮?shù)再x=3處有極小值，所以把x=3代入原函數(shù)，求出的函數(shù)值即為函數(shù)的極小值．

解答 解：（1）∴f（x）=x³+ax²+bx+c
∵f'（x）=3x²+2ax+b
而x=-1和x=3是極值點(diǎn)，
所以 $\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）=3-2a+b=0}\\{f′（3）=27+6a+b=0}\end{array}\right.$，解之得：a=-3，b=-9
又f（-1）=-1+a-b+c=-1-3+9+c=7，故得c=2；
（2）由（1）可知f（x）=x³-3x²-9x+2而x=3是它的極小值點(diǎn)，
所以函數(shù)f（x）的極小值為-25．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)的極值中的應(yīng)用，做題時(shí)要細(xì)心．理解極值與導(dǎo)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系及極值的判斷規(guī)則是解題的關(guān)鍵，本題是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題，常見(jiàn)題型．