Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2ⁿ⁺¹-2，數(shù)列{b_n}滿足b_n=

1

(n+1)log2an

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）n=1時(shí)，a₁=S₁=2；n≥2時(shí)an=Sn-Sn-1=2n，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由bn=

1

(n+1)log22n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）n=1時(shí)，a₁=S₁=2，…（2分）
∵Sn=2n+1-2，
∴Sn-1=2n-2（n≥2）
∴an=Sn-Sn-1=2n（n≥2），
當(dāng)n=1時(shí)也成立，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為：an=2n．n∈N^*．…（6分）
（2）∵an=2n，b_n=

1

(n+1)log2an

，
∴bn=

1

(n+1)log22n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

…（9分）
Tn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

． …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．