Question

15．已知二次函數(shù)f（x）=x²-2mx+1．
（1）指出函數(shù)圖象的開口方向，對(duì)稱軸方程
（2）若f（x）為偶函數(shù)，求m的值．
（3）若f（x）在（-∞，1]上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（4）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）．根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知，其開口向上，對(duì)稱軸可由$x=-\frac{2a}$求得；
（2）．根據(jù)偶函數(shù)定義，可由f_（x）=f_（-x）求出m值；
（3）．根據(jù)二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，可知原函數(shù)開口向上，只要對(duì)稱軸不在1的左邊就可滿足題意要求；
（4）．因?yàn)楹瘮?shù)解析式含有待定系數(shù)m，所以需要討論對(duì)稱軸的位置，用以確定何時(shí)取得最小值．當(dāng)對(duì)稱軸位于-1左邊時(shí)，在[-1，1]上為增函數(shù)，x=-1時(shí)f取得最小值；當(dāng)對(duì)稱軸位于[-1，1]之間時(shí)，對(duì)稱軸位置取得最小值；當(dāng)對(duì)稱軸位于1的右邊時(shí)，函數(shù)在[-1，1]上為減函數(shù)，x=1時(shí)取得最小值．

解答 解：（1）二次函數(shù)${f}_{（x）}={x}^{2}-2mx+1$中，a=1，b=-2m，
所以其開口向上，對(duì)稱軸為$x=-\frac{2a}=-\frac{-2m}{2×1}=m$；
（2）若f（x）為偶函數(shù)，則f（x）=f（-x），
即x²-2mx+1=（-x）²-2m（-x）+1，得m=0；
（3）若f_（x）在（-∞，1]上單調(diào)遞減，由于其開口向上，
∴需滿足對(duì)稱軸$x=-\frac{2a}=-\frac{-2m}{2×1}=m≥1$；
（4）函數(shù)f_（x）的對(duì)稱軸為x=m，其在[-1，1]的單調(diào)性不確定，所以討論如下：
a．當(dāng)對(duì)稱軸x=m≤-1時(shí)，函數(shù)在[-1，1]上單調(diào)遞增，當(dāng)x=-1時(shí)有最小值${f}_{（-1）}=（-1）^{2}-2m×（-1）+1=2+2m$；
b．當(dāng)對(duì)稱軸x=m位于[-1，1]時(shí)，函數(shù)在對(duì)稱軸位置取得最小值，即${f}_{（m）}={m}^{2}-2m×m+1=1-{m}^{2}$；
c．當(dāng)對(duì)稱軸x=m≥1時(shí)，函數(shù)在[-1，1]上單調(diào)遞減，當(dāng)x=1時(shí)有最小值${f}_{（1）}={1}^{2}-2m×1+1=2-2m$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)及單調(diào)性的應(yīng)用，再有求二次函數(shù)最值時(shí)應(yīng)注意函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是否單調(diào)，在有待定系數(shù)的情況下一般要根據(jù)待定系數(shù)的情況進(jìn)行討論．