Question

4．定義在R上的偶函數f（x）滿足f（x）-f（x+2）=0，且當x∈[0，2]時，f（x）=2sin$\frac{π}{2}$x，記sgn（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，x＞0}\\{0，x=0}\\{-x，x＜0}\end{array}\right.$，則函數y=f（x）-sgn（log₂（sgn（x）））的零點個數為（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 先將函數sgn（x）轉化為函數g（x）=|x|，再分別畫出兩函數的圖象，并根據函數圖象確定方程解的個數．

解答 解：根據題中函數sgn（x）的解析式知，
sgn（x）=|x|，所以，
記g（x）=sgn（log₂（sgn（x）））=|log₂|x||，
畫出g（x）的圖象，如右圖紅線，
再考察函數f（x），分析如下：
因為，f（x+2）=f（x），所以，f（x）是以2為周期的函數，
且當x∈[0，2]，f（x）=2sin$\frac{π}{2}$x，畫出f（x）的圖象如右圖紫線，
當x=±5時，f（x）=2，
所以，當x＞5或x＜-5時，f（x）＞2，兩圖象無公共點，
由圖可知，兩圖象有8個交點，所以原函數有8個零點，
故答案為：D．

點評 本題主要考查了根的存在和個數的判斷，涉及對數函數、三角函數的圖象與性質，體現了數形結合的解題思想，屬于中檔題．