Question

5．等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a₁=3，a₂是方程x²-5x-6=0的根．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=$\frac{{2}^{n-1}}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n+1}-1）}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）由于a₂是方程x²-5x-6=0的根，a₂＞0，a₂=6．再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）c_n=$\frac{{2}^{n-1}}{（3×{2}^{n-1}-1）（3×{2}^{n}-1）}$=$\frac{1}{3}$$（\frac{1}{3×{2}^{n-1}-1}-\frac{1}{3×{2}^{n}-1}）$，利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（1）由方程x²-5x-6=0，解得x=6，-1．
∵a₂是方程x²-5x-6=0的根，a₂＞0，a₂=6．
∴等比數(shù)列{a_n}的公比q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{6}{3}$=2，
∴a_n=3×2^n-1．
（2）c_n=$\frac{{2}^{n-1}}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n+1}-1）}$=$\frac{{2}^{n-1}}{（3×{2}^{n-1}-1）（3×{2}^{n}-1）}$=$\frac{1}{3}$$（\frac{1}{3×{2}^{n-1}-1}-\frac{1}{3×{2}^{n}-1}）$，
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和=$\frac{1}{3}$$[（\frac{1}{3-1}-\frac{1}{3×2-1}）$+$（\frac{1}{3×2-1}-\frac{1}{3×{2}^{2}-1}）$+…+$（\frac{1}{3×{2}^{n-1}-1}-\frac{1}{3×{2}^{n}-1}）]$
=$\frac{1}{3}（\frac{1}{2}-\frac{1}{3×{2}^{n}-1}）$．
=$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{9×{2}^{n}-3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法、一元二次方程的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．