Question

3．如圖所示，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PD：DC：BC=1：1：$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求PB與平面PDC所成角的大�。�
（Ⅱ）求二面角D-PB-C的正切值；
（Ⅲ）若AD=$\frac{1}{2}$BC，求證：平面PAB⊥平面PBC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先求出平面PDC的垂線，找到PB與平面PDC所成角的平面角；
（Ⅱ）由已知得到平面PDB⊥平面ABCD，作CH⊥BD于H，則CH⊥平面PDB，作HF⊥PB于F，連CF，得到∠CFH為二面角D-PB-C的平面角，然后通過解三角形求之；
（Ⅲ）取PB中點G，PC中點E，連結AG，GE，DE，得到四邊形AGED是平行四邊形，只要得到AG⊥平面PBC，利用面面垂直的判定定理證明．

解答 解：（Ⅰ）∵PD⊥平面ABCD
∴PD⊥BC，
由AD⊥DC，AD∥BC，得BC⊥DC，
又PD∩DC=D，則BC⊥平面PDC，
∴∠BPC為直線PB與平面PDC所成的角，
令PD=1，則DC=1，BC=$\sqrt{2}$，得PC=$\sqrt{2}$，
由BC⊥平面PDC
∴BC⊥PC，
在Rt△PBC中，由PC=BC得∠BPC=45°即直線PB和面PDC所成的角為45°；
（Ⅱ）由PD⊥平面ABCD，PD?平面PDB，得平面PDB⊥平面ABCD，
作CH⊥BD于H，則CH⊥平面PDB，作HF⊥PB于F，連CF，
∴CF⊥PB
則∠CFH為二面角D-PB-C的平面角，
在Rt△DBC中，DB=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}=\sqrt{3}$，
∴CH•BD=CD•BC，得CH=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
在Rt△FHC中，得HF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴tan∠HFC=$\frac{HC}{HF}=\sqrt{2}$
即二面角D-PB-C的正切值為$\sqrt{2}$；
（Ⅲ）證明：取PB中點G，PC中點E，連結AG，GE，DE
∴GE∥BC，GE=$\frac{1}{2}$BC，由已知∴AD∥BC，AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴AD=GE，AD∥GE，則四邊形AGED是平行四邊形，
∴AG∥DE，可知DE⊥平面PBC，
∴AG⊥平面PBC，
又AG?平面PAB
∴平面PAB⊥平面PBC．

點評 本題考查了線面垂直面面垂直的性質定理和判定定理的運用以及二面角的求法；關鍵是轉化為平面角解答．