Question

14．如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P，PA⊥平面ABCD，E、F、G分別是AB、PC、CD的中點(diǎn)，|PA|=|AB|=|AD|=1，
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求證EF⊥CD，EF⊥PD，且|EF|=$\frac{1}{2}$|PD|；
（3）求直線PD與AC所成的角；
（4）求直線AP與平面PCD所成的角；
（5）求平面PAB與平面PCD所成的角．

Answer 1

分析 （1）g根據(jù)線面平行的判定定理即可證明EF∥平面PAD；
（2）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可證明F⊥CD，EF⊥PD，且|EF|=$\frac{1}{2}$|PD|；
（3）根據(jù)異面直線所成的角即可求直線PD與AC所成的角；
（4）根據(jù)直線和平面所成角的定義即可求直線AP與平面PCD所成的角；
（5）根據(jù)二面角的定義即可求平面PAB與平面PCD所成的角．

解答 解：（1）證明：取PD中點(diǎn)H，連FH，AH
則FH平行且等于$\frac{1}{2}$CD，
又CD平行且等于AB，E為AB中點(diǎn)，
∴FH平行且等于AE
∴AEFH為平行四邊形，
從而EF∥AH，
又EF?平面PAD，AH?平面PAD，
∴EF∥平面PAD
（2）∵CD⊥AD，CD⊥PA，PA∩AD=A
PA在平面PAD內(nèi)，AD在平面PAD內(nèi)
∴CD⊥面PAD
又∵AH?平面PAD，
∴CD⊥AH
∵EF∥AH
∴CD⊥EF；
∵PA|=|AB|=|AD|=1，H是中點(diǎn)，
∴AH⊥PD，且|AH|=$\frac{1}{2}$|PD|；
∵EF∥AH且EF=AH，
∴EF⊥PD，且|EF|=$\frac{1}{2}$|PD|；
（3）取PB的中點(diǎn)M，連接AM，OM，
則OM∥PD，
則OM與OC所成的角就是PD與AC所成的角，
則OM=$\frac{1}{2}$|PD|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
PB=$\sqrt{2}$，AM=$\frac{1}{2}$PB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，OA=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則OA=AM=OM，則△OAM為正三角形，
則∠AOM=60°，即直線PD與AC所成的角為60°．
（4）由（2）知AH⊥平面PAD，
則PH是PA在平面PAD上的射影，
則∠PAH為直線AP與平面PCD所成的角，
∵PA=AD，∴∠PAH=45°，
即直線AP與平面PCD所成的角為45°．
（5）過(guò)D作DN⊥平面ABCD，
則∠PDN是平面PCD與平面PCD所成的角，
同時(shí)也是平面PAB與平面PCD所成的角，
∵∠PDN=∠PAH=45°，
∴平面PAB與平面PCD所成的角是45°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間直線，平面平行或垂直的位置關(guān)系的判斷，以及空間角的求解，根據(jù)相應(yīng)的定理和定義是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．