Question

10．已知離心率為$\frac{1}{2}$的橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點(diǎn)A（2，0）
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過橢圓C右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，且S_△AMN=$\frac{6\sqrt{2}}{7}$，求直線l的一般方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得a=2，運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解得b，即可得到所求橢圓的方程；
（Ⅱ）求得橢圓的右焦點(diǎn)F（1，0），由題意可得直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為y=k（x-1），代入橢圓方程，消去y，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，求得A到直線的距離，再由三角形的面積公式，計(jì)算可得斜率，進(jìn)而得到所求直線的方程．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a=2，
可得c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）橢圓的右焦點(diǎn)F（1，0），由題意可得直線的斜率存在且不為0，
設(shè)直線的方程為y=k（x-1），代入橢圓方程，可得
（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
由弦長(zhǎng)公式可得|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{64{k}^{4}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}-\frac{16{k}^{2}-48}{3+4{k}^{2}}}$=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，
A（2，0）到直線kx-y-k=0的距離為d=$\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
即有S_△AMN=$\frac{1}{2}$|MN|d=$\frac{1}{2}$•$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$•$\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{6\sqrt{2}}{7}$，
解得k=±1，
即有直線的方程為x-y-1=0或x+y-1=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，點(diǎn)到直線的距離公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．