Question

11．如圖，矩形ABCD所在的平面與正方形ADPQ所在的平面相互垂直，E是QD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：QB∥平面AEC；
（Ⅱ）求證：平面QDC⊥平面AEC；
（Ⅲ）若AB=1，AD=2，求多面體ABCEQ的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接BD交AC于O，連接EO．證明EO∥QB，即可證明QB∥平面AEC．
（Ⅱ）證明CD⊥AE，AE⊥QD．推出AE⊥平面QDC，然后證明平面QDC⊥平面AEC．
（Ⅲ）通過多面體ABCEQ為四棱錐Q-ABCD截去三棱錐E-ACD所得，計(jì)算求解即可．

解答 （本小題滿分14分）
（Ⅰ）證明：連接BD交AC于O，連接EO．
因?yàn)?nbsp;E，O分別為QD和BD的中點(diǎn)，則EO∥QB．（2分）
又 EO?平面AEC，QB?平面AEC，（3分）
所以 QB∥平面AEC．（4分）
（Ⅱ）證明：因?yàn)榫匦蜛BCD所在的平面與正方形ADPQ所在的平面相互垂直，CD?平面ABCD，CD⊥AD，
所以CD⊥平面ADPQ．（6分）
又AE?平面ADPQ，所以CD⊥AE．（7分）．
因?yàn)锳D=AQ，E是QD的中點(diǎn)，所以AE⊥QD．（8分）
所以AE⊥平面QDC．（9分）
所以平面QDC⊥平面AEC．（10分）
（Ⅲ）解：多面體ABCEQ為四棱錐Q-ABCD截去三棱錐E-ACD所得，（12分）
所以${V_{ABCEQ}}={V_{Q-ABCD}}-{V_{E-ACD}}=\frac{3}{4}{V_{Q-ABCD}}=\frac{3}{4}×\frac{1}{3}×1×2×2=1$．（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行，直線與平面垂直，幾何體的體積的求法，考查計(jì)算能力．