Question

1．已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，證明：在（1，+∞）上，f（x）+2＞0．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，注意對(duì)字母a的符號(hào)的討論；
（2）先對(duì)函數(shù)f（x）+2求導(dǎo)，判斷該函數(shù)的單調(diào)性，然后求出該函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上的最小值，只要最小值大于零即可．

解答 解：（1）易知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
因?yàn)?f′（x）=\frac{a}{x}-a=\frac{a（1-x）}{x}$．
若a=0，則f′（x）=0，此時(shí)原函數(shù)不具有單調(diào)性；
若a＞0，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）為增函數(shù)，當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）為減函數(shù)；
若a＜0，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）為減函數(shù)，當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）為增函數(shù)；
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，令g（x）=f（x）+2=-lnx+x-1，
g′（x）=$\frac{x-1}{x}$，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)g（x）在（1，+∞）遞增，
所以當(dāng)x∈（1，+∞），g（x）＞g（1）=0恒成立．
故在（1，+∞）上，f（x）+2＞0．

點(diǎn)評(píng) 研究函數(shù)的性質(zhì)一定遵循定義域優(yōu)先的原則，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間基本途徑；對(duì)于不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解，最后還是先利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，求最值使問題獲得解答．