分析 (1)先求出函數(shù)的定義域,然后求導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,注意對(duì)字母a的符號(hào)的討論;
(2)先對(duì)函數(shù)f(x)+2求導(dǎo),判斷該函數(shù)的單調(diào)性,然后求出該函數(shù)在區(qū)間(1,+∞)上的最小值,只要最小值大于零即可.
解答 解:(1)易知,函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+∞),
因?yàn)?f′(x)=\frac{a}{x}-a=\frac{a(1-x)}{x}$.
若a=0,則f′(x)=0,此時(shí)原函數(shù)不具有單調(diào)性;
若a>0,當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f′(x)>0,此時(shí)函數(shù)f(x)為增函數(shù),當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),f′(x)<0,此時(shí)函數(shù)f(x)為減函數(shù);
若a<0,當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f′(x)<0,此時(shí)函數(shù)f(x)為減函數(shù),當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),f′(x)>0,此時(shí)函數(shù)f(x)為增函數(shù);
(2)當(dāng)a=-1時(shí),令g(x)=f(x)+2=-lnx+x-1,
g′(x)=$\frac{x-1}{x}$,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g′(x)>0,此時(shí)函數(shù)g(x)在(1,+∞)遞增,
所以當(dāng)x∈(1,+∞),g(x)>g(1)=0恒成立.
故在(1,+∞)上,f(x)+2>0.
點(diǎn)評(píng) 研究函數(shù)的性質(zhì)一定遵循定義域優(yōu)先的原則,導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間基本途徑;對(duì)于不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解,最后還是先利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,求最值使問題獲得解答.
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A. | 函數(shù)y=sinx•cosx的最大值為1 | |
B. | 將y=sin(2x+$\frac{π}{4}$)圖象向右平移$\frac{π}{8}$個(gè)單位,再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,得到正弦函數(shù)y=sinx的圖象 | |
C. | 函數(shù)f(x)=1-$\frac{1}{x}$在(-∞,0)上是減函數(shù) | |
D. | 函數(shù)f(x)=$\frac{1}{x}$-x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 |
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