1.已知函數(shù)f(x)=alnx-ax-3(a∈R).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)a=-1時(shí),證明:在(1,+∞)上,f(x)+2>0.

分析 (1)先求出函數(shù)的定義域,然后求導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,注意對(duì)字母a的符號(hào)的討論;
(2)先對(duì)函數(shù)f(x)+2求導(dǎo),判斷該函數(shù)的單調(diào)性,然后求出該函數(shù)在區(qū)間(1,+∞)上的最小值,只要最小值大于零即可.

解答 解:(1)易知,函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+∞),
因?yàn)?f′(x)=\frac{a}{x}-a=\frac{a(1-x)}{x}$.
若a=0,則f′(x)=0,此時(shí)原函數(shù)不具有單調(diào)性;
若a>0,當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f′(x)>0,此時(shí)函數(shù)f(x)為增函數(shù),當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),f′(x)<0,此時(shí)函數(shù)f(x)為減函數(shù);
若a<0,當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f′(x)<0,此時(shí)函數(shù)f(x)為減函數(shù),當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),f′(x)>0,此時(shí)函數(shù)f(x)為增函數(shù);
(2)當(dāng)a=-1時(shí),令g(x)=f(x)+2=-lnx+x-1,
g′(x)=$\frac{x-1}{x}$,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g′(x)>0,此時(shí)函數(shù)g(x)在(1,+∞)遞增,
所以當(dāng)x∈(1,+∞),g(x)>g(1)=0恒成立.
故在(1,+∞)上,f(x)+2>0.

點(diǎn)評(píng) 研究函數(shù)的性質(zhì)一定遵循定義域優(yōu)先的原則,導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間基本途徑;對(duì)于不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解,最后還是先利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,求最值使問題獲得解答.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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11.如圖,矩形ABCD所在的平面與正方形ADPQ所在的平面相互垂直,E是QD的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:QB∥平面AEC;
(Ⅱ)求證:平面QDC⊥平面AEC;
(Ⅲ)若AB=1,AD=2,求多面體ABCEQ的體積.

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12.如圖,已知ABCD是底角為60°的等腰梯形,其中AB∥CD,AD=4,DC=6,$\overrightarrow{DE}$=2$\overrightarrow{EC}$,$\overrightarrow{CF}$=2$\overrightarrow{FB}$,則$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$的值為$\frac{28}{3}$.

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9.已知θ是第三象限角,且sinθ-2cosθ=-$\frac{2}{5}$,則sinθ+cosθ=-$\frac{31}{25}$.

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16.直線y=$\sqrt{3}$x與雙曲線C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>0,b>0)左右兩支分別交于M、N兩點(diǎn),與雙曲線C的右準(zhǔn)線交于P點(diǎn),F(xiàn)是雙曲線C的右焦點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn),若|FO|=|MO|,則$\frac{|NP|}{|MP|}$等于$\sqrt{3}$.

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6.下列說法正確的是( 。
A.函數(shù)y=sinx•cosx的最大值為1
B.將y=sin(2x+$\frac{π}{4}$)圖象向右平移$\frac{π}{8}$個(gè)單位,再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,得到正弦函數(shù)y=sinx的圖象
C.函數(shù)f(x)=1-$\frac{1}{x}$在(-∞,0)上是減函數(shù)
D.函數(shù)f(x)=$\frac{1}{x}$-x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

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13.已知$\overrightarrow{a}$=(1,2),$\overrightarrow$=(-3,2),當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時(shí),
(Ⅰ)k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$垂直?
(Ⅱ)k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$平行?平行時(shí)它們是同向還是反向?

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10.已知等差數(shù)列{an}滿足,若a22+a52=5.則S7的最大值是$\frac{35}{3}$.

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11.已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F1(-1,0),離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(Ⅱ)過橢圓焦點(diǎn)F的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn).
(1)若F是右焦點(diǎn),y軸上一點(diǎn)M(0,$\frac{1}{3}$)滿足|MN|=|MB|,求直線1斜率k的值;
(2)若F是左焦點(diǎn),設(shè)過點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線1交橢圓于A,B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G,求點(diǎn)G的橫坐標(biāo)的取值范圍.

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