Question

2．一果農(nóng)種植了1000棵果樹(shù)，為估計(jì)其產(chǎn)量，從中隨機(jī)選取20棵果樹(shù)的產(chǎn)量（單位：kg）作為樣本數(shù)據(jù)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知樣本中產(chǎn)量在區(qū)間（45，50]上的果樹(shù)棵數(shù)為8，．
（Ⅰ）求頻率分布直方圖中a，b的值；
（Ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這20棵果樹(shù)產(chǎn)量的中位數(shù)；
（Ⅲ）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這1000棵果樹(shù)的總產(chǎn)量．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率=$\frac{頻數(shù)}{樣本容量}$，利用頻率和為1，即可求出a、b的值；
（Ⅱ）利用頻率分布直方圖中中位數(shù)兩側(cè)的頻率相等，列出方程求出中位數(shù)x；
（Ⅲ）求出這20棵果樹(shù)產(chǎn)量的平均數(shù)$\overline{x}$，用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體的產(chǎn)量即可．

解答 解：（Ⅰ）由樣本中產(chǎn)量在區(qū)間（45，50]上的果樹(shù)棵數(shù)為8，
得a×5×20=8，解得a=0.08；
又因?yàn)?×（0.06+0.08+b+0.02）=1，
解得b=0.04，
所以a=0.08，b=0.04；
（Ⅱ）設(shè)這20棵果樹(shù)產(chǎn)量的中位數(shù)為x，
因?yàn)闃颖局挟a(chǎn)量在區(qū)間（40，45]上的頻率為0.06×5=0.03，
樣本中產(chǎn)量在區(qū)間（45，50]上的頻率為0.08×5=0.4，
所以中位數(shù)在區(qū)間（45，50]內(nèi)，
令0.06×5+（x-45）×0.08=0.5，
解得x=47.5，
所以估計(jì)這20棵果樹(shù)產(chǎn)量的中位數(shù)為47.5；
（Ⅲ）設(shè)這20棵果樹(shù)產(chǎn)量的平均數(shù)是$\overline{x}$，
則$\overline{x}$=5×（42.5×0.06+47.5×0.08+52.5×0.04+57.5×0.02）=48（kg）；
根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)這1000棵果樹(shù)的總產(chǎn)量為48×1000=48000（kg）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了頻率、中位數(shù)與平均數(shù)的計(jì)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．