Question

12．如圖，設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過(guò)焦點(diǎn)F₁的直線交橢圓于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，若△ABF₂的內(nèi)切圓的面積為π，則|y₁-y₂|=3．

Answer 1

分析 由已知△ABF₂內(nèi)切圓半徑r=1．，從而求出△ABF₂，再由ABF₂面積=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|×2c，能求出|y₁-y₂|．

解答 解：∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，a=3，b=$\sqrt{5}$，c=2，
過(guò)焦點(diǎn)F₁的直線交橢圓于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，△ABF₂的內(nèi)切圓的面積為π，
∴△ABF₂內(nèi)切圓半徑r=1．
△ABF₂面積S=$\frac{1}{2}$×1×（AB+AF₂+BF₂）=2a=6，
∴ABF₂面積S=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|×2c=.$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|×2×2=6，
∴|y₁-y₂|=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．