Question

16．拋物線y=x²-4x+3交x軸與M、N點（M在N左邊），交y軸于點D，E在第一象限拋物線上，∠EMN=2∠ODM，求E點．

Answer 1

分析 根據(jù)條件求出M，N，D的坐標，結合三角函數(shù)的倍角公式求出直線ME的方程，聯(lián)立方程組即可求出E的坐標．

解答 解：∵y=x²-4x+3=（x-1）（x-3），
∴M（1，0），N（3，0，
當x=0時，y=3，即D（0，3），
則tan∠ODM=$\frac{OM}{OD}$=$\frac{1}{3}$，
設ME的斜率k=tan∠EMN，
∵∠EMN=2∠ODM，
∴tan∠EMN=tan（2∠ODM）=$\frac{2tan∠ODM}{1-ta{n}^{2}∠ODM}$=$\frac{2×\frac{1}{3}}{1-（\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}}$=$\frac{3}{4}$，
ME的方程：y=$\frac{3}{4}$（x-1），
由$\frac{3}{4}$（x-1）=（x-1）（x-3），
得（x-1）（x-$\frac{15}{4}$）=0，
得x=$\frac{15}{4}$或 x=1（舍），
此時y=（$\frac{15}{4}$-1）×$\frac{3}{4}$=$\frac{11}{4}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{33}{16}$，即E（$\frac{15}{4}$，$\frac{33}{16}$）．

點評 本題主要考查拋物線的方程和應用，根據(jù)條件求出坐標，結合三角函數(shù)的倍角公式是解決本題的關鍵．