Question

11．利用定義證明：函數(shù)f（x）=x³-6x在區(qū)間[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]上是單調(diào)減函數(shù)．

Answer 1

分析 根據(jù)減函數(shù)的定義，設(shè)任意的${x}_{1}，{x}_{2}∈[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$，且x₁＜x₂，然后作差，分解因式，提取公因式x₁-x₂，從而證明f（x₁）＞f（x₂），這樣即可得出f（x）在區(qū)間$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$上為單調(diào)減函數(shù)．

解答 證明：設(shè)${x}_{1}，{x}_{2}∈[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$，且x₁＜x₂，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={{x}_{1}}^{3}-6{x}_{1}-{{x}_{2}}^{3}+6{x}_{2}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（{{x}_{1}}^{2}+{x}_{1}{x}_{2}+{{x}_{2}}^{2}-6）$；
∵${x}_{1}，{x}_{2}∈[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$，且x₁＜x₂；
∴x₁-x₂＜0，${{x}_{1}}^{2}＜2，{{x}_{1}x}_{2}＜2，{{x}_{2}}^{2}≤2$，${{x}_{1}}^{2}+{x}_{1}{x}_{2}+{{x}_{2}}^{2}＜6$；
∴${{x}_{1}}^{2}+{x}_{1}{x}_{2}+{{x}_{2}}^{2}-6＜0$；
∴$（{x}_{1}-{x}_{2}）（{{x}_{1}}^{2}+{x}_{1}{x}_{2}+{{x}_{2}}^{2}-6）＞0$；
即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在區(qū)間$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$上是單調(diào)減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 考查減函數(shù)的定義，以及根據(jù)減函數(shù)的定義證明一個(gè)函數(shù)為減函數(shù)的方法和過程，立方差公式，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），作差后一般要提取公因式x₁-x₂．