Question

1．在正項數列{a_n}中，a₁=1，a₂=10，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\sqrt{\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}}$（n=3，4，5…），求數列|a_n|的通項公式．

Answer 1

分析 令$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=b₁=10，由$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\sqrt{\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}}$（n=3，4，5…），可得$_{n+1}=\sqrt{_{n}}$＞0，兩邊取對數可得$lg_{n+1}=\frac{1}{2}lg_{n}$，利用等比數列的通項公式可得：lgb_n=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，b_n=$1{0}^{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$．因此$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$1{0}^{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$．再利用“累乘求積”即可得出．

解答 解：令$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=b₁=10，∵$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\sqrt{\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}}$（n=3，4，5…），可得$_{n+1}=\sqrt{_{n}}$＞0，
∴$lg_{n+1}=\frac{1}{2}lg_{n}$，
∴數列{lgb_n}是等比數列，首項為1，公比為$\frac{1}{2}$．
∴l(xiāng)gb_n=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴b_n=$1{0}^{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$．
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$1{0}^{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$．
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$$•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁
=$1{0}^{（\frac{1}{2}）^{n-2}}$$•1{0}^{（\frac{1}{2}）^{n-3}}$•…$•1{0}^{（\frac{1}{2}）^{0}}$•1
=$1{0}^{（\frac{1}{2}）^{n-2}+（\frac{1}{2}）^{n-3}+…（\frac{1}{2}）^{0}}$
=$1{0}^{\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n-1}}{1-\frac{1}{2}}}$
=$1{0}^{2-（\frac{1}{2}）^{n-2}}$．

點評 本題考查了等比數列的通項公式及其前n項和公式、對數的運算性質、指數冪的運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．