Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（2+x）-log_a（2-x）（a＞0且a≠1）．
（1）試求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）解關(guān)于x的不等式f（x）≥log_a（3x）．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的定義域．
（2）根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷即可．
（3）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，進(jìn)行分類討論，即可

解答： 解：（1）要是函數(shù)有意義，則

2+x＞0 2-x＞0

，
解得-2＜x＜2，
故函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?2，2）
（2）f（-x）=log_a（2-x）-log_a（2+x）=-[log_a（2+x）-log_a（2-x）]=-f（x），
所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)
（3）∵f（x）=log_a（2+x）-log_a（2-x）=loga

2+x

2-x

，f（x）≥log_a（3x）．
∴loga

2+x

2-x

≥log_a（3x），0＜x＜2
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，

2+x

2-x

≤3x，解得

2

3

≤x≤1，
當(dāng)a＞1時(shí)，

2+x

2-x

≥3x，解得1≤x＜2，或0＜x≤

2

3

，

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算及不等式的解法，要求熟練掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)是關(guān)鍵．