【題目】已知函數(shù)
(1)設(shè)函數(shù)h(x)=g(x)﹣f(x),求函數(shù)h(x)在區(qū)間[2,4]上的值域;
(2)定義min(p,q)表示p,q中較小者,設(shè)函數(shù)H(x)=min{f(x),g(x)}(x>0), ①求函數(shù)H(x)的單調(diào)區(qū)間及最值;
②若關(guān)于x的方程H(x)=k有兩個(gè)不同的實(shí)根,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【答案】
(1)解:∵函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,

函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,

∴函數(shù)h(x)在區(qū)間[2,4]上單調(diào)遞增,

故h(2)≤h(x)≤h(4),即0≤h(x)≤13,

所以函數(shù)在區(qū)間[2,4]上的值域?yàn)閇0,13]


(2)解:①在同一坐標(biāo)系中,作出f(x),g(x)的圖象如圖所示,

根據(jù)題意得,H(x)= ,

由(1)知,y=2x在區(qū)間(0,2]上單調(diào)遞增,

在區(qū)間上單調(diào)遞減,

故H(x)max=H(2)=4.

∴函數(shù)H(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2],單調(diào)遞減區(qū)間為(2,+∞),

H(x)有最大值4,無最小值.

②∵ 在[2,+∞)上單調(diào)遞減,∴ ,

又g(x)=2x在(0,2]上單調(diào)遞增,∴1<2x≤4,

∴要使方程H(x)=k有兩個(gè)不同的實(shí)根,

則需滿足2<k<4,

即實(shí)數(shù)k的取值范圍是(2,4)


【解析】(1)根據(jù)函數(shù)f(x),g(x)的單調(diào)性,求出h(x)的單調(diào)性,求出函數(shù)h(x)的值域即可;(2)①根據(jù)函數(shù)f(x),g(x)的圖象求出H(x)的最大值,②根據(jù)H(x)的范圍,求出k的范圍即可.
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減.

練習(xí)冊系列答案
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社團(tuán)名稱

成員人數(shù)

抽取人數(shù)

話劇社

50

a

創(chuàng)客社

150

b

演講社

100

c


(1)求a,b,c的值;
(2)若從“話劇社”,“創(chuàng)客社”,“演講社”已抽取的6人中任意抽取2人擔(dān)任管理小組組長,求這2人來自不同社團(tuán)的概率.

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(1)隨機(jī)選取1件產(chǎn)品,求能夠通過檢測的概率;

(2)隨機(jī)選取3件產(chǎn)品,其中一等品的件數(shù)記為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望..

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(1)求圓的直角坐標(biāo)方程;

(2)設(shè)圓與直線交于點(diǎn),若點(diǎn)的坐標(biāo)為,求的最小值.

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