Question

【題目】已知函數(shù) ，若滿足f（1）=
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）證明：f（x）為奇函數(shù)．
（3）判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（1）= ；

∴ ；

∴a=1

（2）解：證明： ；

該函數(shù)定義域?yàn)镽，f（﹣x）= ；

∴f（x）為奇函數(shù)

（3）解： ，可看出x增大時(shí)，f（x）增大，∴f（x）在R上為增函數(shù)，證明如下：

設(shè)x1，x2∈R，且x1＜x2，則：

= ；

∵x1＜x2；

∴ ， ；

∴f（x1）＜f（x2）；

∴f（x）在R上為增函數(shù)

【解析】（1）根據(jù)f（1）= 便可求出a=1；（2）寫出 ，定義域顯然為R，容易得到f（﹣x）=﹣f（x），從而得出該函數(shù)為奇函數(shù)；（3）分離常數(shù)得到 ，根據(jù)單調(diào)性定義便可判斷該函數(shù)在R上單調(diào)遞增，根據(jù)增函數(shù)的定義證明：設(shè)任意的x1 ， x2∈R，且x1＜x2 ， 然后作差，通分，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性證明f（x1）＜f（x2）即可得出f（x）在R上單調(diào)遞增．
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)奇偶性的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇．