Question

5．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax有兩個(gè)零點(diǎn)x₁、x₂（x₁＜x₂），求證：x₁+x₂＜2lna．

Answer 1

分析 利用函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可證明不等式．

解答 解：∵f（x）有兩個(gè)相異零點(diǎn)，
∴設(shè)${e}^{{x}_{1}}$=ax₁，${e}^{{x}_{2}}$=ax₂，①
即${e}^{{x}_{1}}$${e}^{{x}_{2}}$=${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$=a²x₁x₂，
而：x₁+x₂＜2lna，等價(jià)于：${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$＜e^2lna=${e}^{ln{a}^{2}}$=a²，
即a²x₁x₂＜a²，
則等價(jià)為x₁x₂＜1
函數(shù)的f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x-a，
若a≤0，則f′（x）=e^x-a＞0，還是單調(diào)遞增，則不滿足條件．
則a＞0，
由f′（x）＞0得x＞lna，
由f′（x）＜0得x＜lna，
即當(dāng)x=lna時(shí)，還是f（x）取得極小值同時(shí)也是最小值f（lna）=e^lna-alna=a（1-lna），
∵f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，∴a（1-lna）＜0，
即1-lna＜0，則lna＞1，即a＞e．
要證x₁+x₂＜2lna，則只需要x₂＜2lna-x₁，
又x₂＞lna，則只需要證明f（x₂）＜f（2lna-x₁），
即證f（2lna-x₁）＞f（x₂）=0=f（x₁），
令g（x）=f（2lna-x）-f（x），（x＜lna），
則g（x）=e^2lna-x-a（2lna-x）-e^x+ax，
g′（x）=-a²e^-x+a-e^x+a=$\frac{-{a}^{2}+2a{e}^{x}-{e}^{2x}}{{e}^{x}}$=-$\frac{（{e}^{x}-a）^{2}}{{e}^{x}}$≤0，
即g（x）在（-∞，lna]上單調(diào)遞減，
即g（x）＞g（lna）=0，
則命題成立．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系和應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．