Question

13．求函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}+6x+1}{{x}^{2}+1}$的值域．

Answer 1

分析 可將原函數(shù)整理成關(guān)于x的方程的形式：（1-y）x²+6x+1-y=0，并且該方程有解，容易判斷y=1時(shí)滿足方程有解，而y≠1時(shí)方程為關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)方程有解從而得到△≥0，這樣可解出y的范圍，從而便可得出原函數(shù)的值域．

解答 解：將$y=\frac{{x}^{2}+6x+1}{{x}^{2}+1}$整理成關(guān)于x的方程，（1-y）x²+6x+1-y=0，該方程有解；
（1）若y=1，顯然上面方程有解；
（2）若y≠1，上面方程為關(guān)于x的一元二次方程，方程有解；
∴△=36-4（1-y）²≥0；
解得-2≤y≤4且y≠1；
綜上所述，原函數(shù)的值域?yàn)閇-2，4]．

點(diǎn)評 考查函數(shù)值域的概念及求法，將原函數(shù)整理成關(guān)于x的方程的形式，根據(jù)方程有解求函數(shù)值域的方法，以及一元二次方程的解和判別式△取值的關(guān)系．