Question

2．設(shè)函數(shù)y=g（x）在（-∞，+∞）內(nèi)有定義，對(duì)于給定的整數(shù)k，定義函數(shù)：g_k（x）=$\left\{\begin{array}{l}{g（x）（g（x）≤k）}\\{k（g（x）＞k）}\end{array}\right.$，取函數(shù)g（x）=2-ex-e^-x，若對(duì)任意x∈（-∞，+∞）恒有g(shù)_k（x）=g（x），則（　�。�

• A． k的最大值為2-e-$\frac{1}{e}$
• B． k的最小值為2-e-$\frac{1}{e}$
• C． k的最大值為2
• D． k的最小值為2

Answer 1

分析 由題意知g（x）≤k在（-∞，+∞）上恒成立，從而化為函數(shù)的最值問(wèn)題．

解答 解：∵對(duì)任意x∈（-∞，+∞）恒有g(shù)_k（x）=g（x），
∴g（x）≤k在（-∞，+∞）上恒成立，
∵g（x）=2-ex-e^-x，g′（x）=-e+e^-x，
∴當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)；
當(dāng)x∈（-1，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)；
故g_max（x）=g（-1）=2+e-e=2，
故k≥2；
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用及恒成立問(wèn)題與最值問(wèn)題的應(yīng)用，屬于中檔題．