Question

15．用比較法證明：$\frac{1}{3}$≤$\frac{{x}^{2}-x+1}{{x}^{2}+x+1}$≤3．

Answer 1

分析 作差3（x²-x+1）-（x²+x+1）=2（x-1）²≥0，又x²+x+1=$（x+\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{3}{4}＞$0，即可證明$\frac{1}{3}$≤$\frac{{x}^{2}-x+1}{{x}^{2}+x+1}$，同理可證$\frac{{x}^{2}-x+1}{{x}^{2}+x+1}$≤3．

解答 證明：∵3（x²-x+1）-（x²+x+1）=2x²-4x+2=2（x-1）²≥0，∴3（x²-x+1）≥x²+x+1，又x²+x+1=$（x+\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{3}{4}＞$0，
∴$\frac{1}{3}$≤$\frac{{x}^{2}-x+1}{{x}^{2}+x+1}$，
由3（x²+x+1）-（x²-x+1）=2x²+4x+2=2（x+1）²≥0，∴3（x²+x+1）≥x²-x+1，又x²-x+1=$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{3}{4}＞$0，
∴$\frac{{x}^{2}-x+1}{{x}^{2}+x+1}$≤3．
綜上可得：$\frac{1}{3}$≤$\frac{{x}^{2}-x+1}{{x}^{2}+x+1}$≤3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了作差比較法證明不等式、不等式的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．