Question

19．如圖，正四棱錐P-ABCD中，底面ABCD的邊長(zhǎng)為4，PD=4，E為PA的中點(diǎn)，
（Ⅰ）求證：平面EBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求直線(xiàn)BE與平面PBD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）設(shè)AC，BD交點(diǎn)為O，連結(jié)PO，則PO⊥平面ABCD，于是PO⊥BD，又BD⊥AC，故而B(niǎo)D⊥平面PAC，于是平面EBD⊥平面PAC；
（II）以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)A，OB，OP為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，則$\overrightarrow{n}$=（1，0，0）為平面PBD的一個(gè)法向量，求出cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{BE}$＞，則|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{BE}$＞|即為所求．

解答 證明：（I設(shè)AC，BD交點(diǎn)為O，連結(jié)PO．則O為正方形ABCD的中心，
∴PO⊥平面ABCD．∵BD?平面ABCD，
∴PO⊥BD．
∵四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
又AC?平面PAC，PO?平面PAC，AC∩PO=O，
∴BD⊥平面PAC，又BD?平面EBD，
∴平面EBD⊥平面PAC．
（II）以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)A，OB，OP為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，
∵正四棱錐的棱長(zhǎng)為4，∴OA=OB=OD=2$\sqrt{2}$，OP=$\sqrt{P{D}^{2}-O{D}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∴A（2$\sqrt{2}$，0，0），B（0，2$\sqrt{2}$，0），P（0，0，2$\sqrt{2}$），∴E（$\sqrt{2}$，0，$\sqrt{2}$）．
∴$\overrightarrow{BE}$=（$\sqrt{2}$，-2$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．
顯然x軸⊥平面PBD．∴$\overrightarrow{n}$=（1，0，0）是平面PBD的一個(gè)法向量，
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}$=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{n}$|=1，|$\overrightarrow{BE}$|=2$\sqrt{3}$．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BE}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{BE}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴直線(xiàn)BE與平面PBD所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了面面垂直的判定，空間向量的應(yīng)用與線(xiàn)面角的計(jì)算，屬于中檔題．