Question

7．設(shè)直線y=k（x-2）（k＞0）與拋物線C：y²=16x交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)F為直線與x軸的交點(diǎn)，且$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，則k的值為（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． 8
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 先設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，再根據(jù)向量的有關(guān)知識(shí)得到坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而代入拋物線的方程中解方程即可得到k的值．

解答 解：直線y=k（x-2）與拋物線C：y²=16x聯(lián)立，
可得k²（x-2）²-16x=0，即為k²x²-（4k²+16）x+4k²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F(xiàn)（2，0），
可得x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}+16}{{k}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂-4）=k（$\frac{4{k}^{2}+16}{{k}^{2}}$-4）=$\frac{16}{k}$，①
即有$\overrightarrow{AF}$=（2-x₁，-y₁），$\overrightarrow{FB}$=（x₂-2，y₂），
由$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，
可得$\left\{\begin{array}{l}{2-{x}_{1}=2（{x}_{2}-2）}\\{-{y}_{1}=2{y}_{2}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=6-2{x}_{2}}\\{{y}_{1}=-2{y}_{2}}\end{array}\right.$，②
①②聯(lián)立可得，x₂=$\frac{2{k}^{2}-16}{{k}^{2}}$，y₂=-$\frac{16}{k}$，
代入拋物線方程y²=16x可得$\frac{256}{{k}^{2}}$=16•$\frac{2{k}^{2}-16}{{k}^{2}}$，
化簡(jiǎn)可得2k²=32，
由k＞0可得k=4．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，以及向量的坐標(biāo)表示的應(yīng)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．