Question

11．已知橢圓mx²+ny²=1與直線x+y-1=0相交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)AB中點(diǎn)M與坐標(biāo)原點(diǎn)的直線的斜率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，則$\frac{m}{n}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），可得直線OM和AB的斜率，A，B在橢圓上，代入橢圓方程，利用點(diǎn)差法和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，化簡(jiǎn)整理即可得到所求值．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
可得k_OM=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$①，
k_AB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$②，
由AB的中點(diǎn)為M可得x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀，
由A，B在橢圓上，可得$\left\{\begin{array}{l}{m{{x}_{1}}^{2}+n{{y}_{1}}^{2}=1}\\{m{{x}_{2}}^{2}+n{{y}_{2}}^{2}=1}\end{array}\right.$，
兩式相減可得m（x₁-x₂）（x₁+x₂）+n（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0③，
把①②代入③可得m（x₁-x₂）•2x₀-n（y₁-y₂）•2y₀=0，
整理可得$\frac{m}{n}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與橢圓相交的位置關(guān)系，在涉及到與弦的斜率及中點(diǎn)有關(guān)時(shí)可以利用“點(diǎn)差法”，本題也可以運(yùn)用直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理解決，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．