Question

16．在等比數(shù)列{a_n}中，對(duì)于任意n∈N^*都有a_n+1a_2n=3ⁿ，則a₁a₂…a₆=729．

Answer 1

分析 通過等比數(shù)列的定義及a_n+1a_2n=3ⁿ可得公比及a₂，利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算即可．

解答 解：∵a_n+1a_2n=3ⁿ，∴a_n+2a_2（n+1）=3ⁿ⁺¹，
∴q³=$\frac{{a}_{n+2}{a}_{2（n+1）}}{{a}_{n+1}{a}_{2n}}$=$\frac{{3}^{n+1}}{{3}^{n}}$=3，即q=$\root{3}{3}$，
∵a₂a₂=3¹，∴a₂=$\sqrt{3}$，∴a₅=${a}_{2}•{q}^{3}$=3$\sqrt{3}$，
∴a₂•a₅=$\sqrt{3}•3\sqrt{3}$=9，
∴a₁a₂…a₆=（a₁•a₆）（a₂•a₅）（a₃•a₄）=9³=729，
故答案為：729．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求數(shù)列前幾項(xiàng)的乘積，注意解題方法的積累，屬于中檔題．