Question

6．已知A₁、A₂是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0）的左右頂點(diǎn)，雙曲線C的焦距為2c，P為右支上異于A₂的一點(diǎn)，直線PA₂與直線x=$\frac{{a}^{2}}{c}$相交于點(diǎn)Q，若$\overrightarrow{{A}_{1}P}$•$\overrightarrow{{A}_{1}Q}$=0，則雙曲線C的漸近線方程為（　�。�

• A． y=±2x
• B． y=±x
• C． y=±$\sqrt{3}$x
• D． y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x

Answer 1

分析 設(shè)P（m，n），則直線PA₂的方程為y=$\frac{n}{m-a}$（x-a），求出Q的坐標(biāo)，利用$\overrightarrow{{A}_{1}P}$•$\overrightarrow{{A}_{1}Q}$=0，建立方程，可得c，a的關(guān)系，即可求出雙曲線C的漸近線方程．

解答 解：設(shè)P（m，n），則直線PA₂的方程為y=$\frac{n}{m-a}$（x-a），x=$\frac{{a}^{2}}{c}$時(shí)，y=$\frac{n}{m-a}$（$\frac{{a}^{2}}{c}$-a），
∴Q（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{n}{m-a}$（$\frac{{a}^{2}}{c}$-a）），
∵$\overrightarrow{{A}_{1}P}$•$\overrightarrow{{A}_{1}Q}$=0，
∴（m+a，n）•（$\frac{{a}^{2}}{c}$+a，$\frac{n}{m-a}$（$\frac{{a}^{2}}{c}$-a））=0，
∴（m+a）（$\frac{{a}^{2}}{c}$+a）+n•$\frac{n}{m-a}$（$\frac{{a}^{2}}{c}$-a））=0，
∴$\frac{{m}^{2}-{a}^{2}}{{n}^{2}}$×（a²+ac）+（a²-ac）=0，
∵$\frac{{m}^{2}-{a}^{2}}{{n}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$，
∴$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$×（a²+ac）+（a²-ac）=0，
化簡可得c=2a，
∴b=$\sqrt{3}$a，
∴雙曲線C的漸近線方程為y=$±\sqrt{3}$x．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查雙曲線C的漸近線方程，確定c，a的關(guān)系是關(guān)鍵．