Question

12．已知函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{1}{x}$．a(chǎn)∈R．
（1）若f（x）有極值，求a的取值范圍．
（2）若f（x）有經(jīng)過原點的切線，求a的取值范圍及切線的條數(shù)，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論a的范圍，結(jié)合單調(diào)性，即可得到所求a的范圍；
（2）設(shè)切線的切點為（m，n），求出導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由兩點的斜率公式，可得m（1-lnm）=$\frac{2}{a}$，m＞0，由g（m）=m（1-lnm），求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，極值、最值，對a討論，解不等式即可得到a的范圍和切線的條數(shù)．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{1}{x}$（x＞0），
即有f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{ax-1}{{x}^{2}}$，
當(dāng)a≤0時，f′（x）＜0，f（x）遞減，無極值；
當(dāng)a＞0時，x＞$\frac{1}{a}$時，f′（x）＞0；當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{a}$時，f′（x）＜0．
x=$\frac{1}{a}$處，f（x）取得極小值．
則a的范圍是（0，+∞）；
（2）設(shè)切線的切點為（m，n），由f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{ax-1}{{x}^{2}}$，
可得切線的斜率為$\frac{am-1}{{m}^{2}}$=$\frac{n}{m}$=$\frac{alnm+\frac{1}{m}}{m}$，
化為m（1-lnm）=$\frac{2}{a}$，m＞0，
由g（m）=m（1-lnm），可得g′（m）=1-lnm-1=-lnm，
當(dāng)m＞1時，g′（m）＜0，g（m）遞減；
當(dāng)0＜m＜1時，g′（m）＞0，g（m）遞增．
可得m=1處g（m）取得極大值，且為最大值1．
當(dāng)$\frac{2}{a}$=1或$\frac{2}{a}$＜0，即a=2或a＜0，y=g（m）與y=$\frac{2}{a}$有一個交點，即有一條切線；
當(dāng)0＜$\frac{2}{a}$＜1，即為a＞2時，y=g（m）與y=$\frac{2}{a}$有兩個交點，即有兩條切線；
當(dāng)$\frac{2}{a}$＞1，即為a＜2時，y=g（m）與y=$\frac{2}{a}$沒有交點，即不存在切線．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查分類討論的思想方法，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．