Question

1．已知點P為函數(shù)f（x）=lnx的圖象上任意一點，點Q為圓[x-（e+$\frac{1}{e}$）]²+y²=1任意一點，則線段PQ的長度的最小值為（　�。�

• A． $\frac{e-\sqrt{{e}^{2}-1}}{e}$
• B． $\frac{\sqrt{2{e}^{2}+1}-e}{e}$
• C． $\frac{\sqrt{{e}^{2}+1}-e}{e}$
• D． e+$\frac{1}{e}$-1

Answer 1

分析 由圓的對稱性可得只需考慮圓心Q（e+$\frac{1}{e}$，0）到函數(shù)f（x）=lnx圖象上一點的距離的最小值．設(shè)f（x）圖象上一點P（m，lnm），求得切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，可得lnm+m²-（e+$\frac{1}{e}$）m=0，由g（x）=lnx+x²-（e+$\frac{1}{e}$）x，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，可得零點e，運用兩點的距離公式計算即可得到所求值．

解答 解：由圓的對稱性可得只需考慮圓心Q（e+$\frac{1}{e}$，0）
到函數(shù)f（x）=lnx圖象上一點的距離的最小值．
設(shè)f（x）圖象上一點（m，lnm），
由f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$，
即有切線的斜率為k=$\frac{1}{m}$，
可得$\frac{lnm-0}{m-（e+\frac{1}{e}）}$=-m，
即有l(wèi)nm+m²-（e+$\frac{1}{e}$）m=0，
由g（x）=lnx+x²-（e+$\frac{1}{e}$）x，可得g′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-（e+$\frac{1}{e}$），
當(dāng)2＜x＜3時，g′（x）＞0，g（x）遞增．
又g（e）=lne+e²-（e+$\frac{1}{e}$）•e=0，
可得x=e處點（e，1）到點Q的距離最小，且為$\sqrt{1+\frac{1}{{e}^{2}}}$，
則線段PQ的長度的最小值為為$\sqrt{1+\frac{1}{{e}^{2}}}$-1，即$\frac{\sqrt{1+{e}^{2}}-e}{e}$．
故選：C．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)性，考查圓的對稱性和兩點的距離公式，考查運算能力，屬于中檔題．