Question

12．某個海邊旅游景點，有小型游艇出租供游客出海游玩，收費標準如下：租用時間不超過2小時收費100，超過2小時的部分按每小時100收取（不足一小時按一小時計算）．現(xiàn)甲、乙兩人獨立來該景點租用小型游艇，各租一次．設(shè)甲、乙租用不超過兩小時的概率分別為$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$；租用2小時以上且不超過3小時的概率分別為$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，且兩人租用的時間都不超過4小時．
（Ⅰ）求甲、乙兩人所付費用相同的概率；
（Ⅱ）設(shè)甲、乙兩人所付的費用之和為隨機變量ξ，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先求出兩個人租車時間超過三小時的概率，甲乙兩人所付的租車費用相同即租車時間相同：都不超過兩小時、都在兩小時以上且不超過三小時和都超過三小時三類求解即可．
（Ⅱ）隨機變量ξ的所有取值為200，300，400，500，600，由獨立事件的概率分別求概率，列出分布列，再由期望的公式求期望即可．

解答 解：（Ⅰ）甲、乙所付費用可以為100、200元、300元…（1分）
甲、乙兩人所付費用都是100元的概率為${P_1}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$…（2分）
甲、乙兩人所付費用都是200元的概率為${P_1}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$…（3分）
甲、乙兩人所付費用都是300元的概率為${P_1}=（1-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}）×（1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）=\frac{1}{36}$
故甲、乙兩人所付費用相等的概率為$P={P_1}+{P_2}+{P_3}=\frac{13}{36}$…（6分）
（Ⅱ）隨機變量ξ的取值可以為200，300，400，500，600…（7分）
P（ξ=200）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$
P（ξ=300）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{13}{36}$
P（ξ=400）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+（1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）×\frac{1}{3}+（1-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}）×\frac{1}{2}=\frac{11}{36}$
P（ξ=500）=$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）×\frac{1}{3}=\frac{5}{36}$
P（ξ=600）=$（1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）×（1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）=\frac{1}{36}$
故ξ的分布列為：

ξ	200	300	400	500	600
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{13}{36}$	$\frac{11}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{1}{36}$

…（11分）
∴ξ的數(shù)學(xué)期望是$Eξ=200×\frac{1}{6}+300×\frac{13}{36}+400×\frac{11}{36}+500×\frac{5}{36}+600×\frac{1}{36}=350$…（13分）

點評 本題考查獨立事件、互斥事件的概率、離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，考查利用所學(xué)知識解決問題的能力．屬于中檔題型．