Question

2．設正項數列{a_n}的前n項和為S_n，且a${\;}_{n}^{2}$+2a_n=4S_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）設數列{b_n}滿足：b₁=1，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$（n∈N^*，n≥2），求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令n=1，求得首項為2；再由n＞1時，將n換為n-1，相減可得a_n-a_n-1=2，再由等差數列的通項公式，計算即可得到所求；
（Ⅱ）求得b_n=$\frac{1}{4n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），運用數列的求和方法：裂項相消求和，化簡整理即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）當n=1時，a₁²+2a₁=4S₁=4a₁，
解得a₁=2，
當n＞1時，a_n-1²+2a_n-1=4S_n-1，
又a${\;}_{n}^{2}$+2a_n=4S_n（n∈N^*）．
兩式相減可得，a${\;}_{n}^{2}$-a_n-1²+2a_n-2a_n-1=4S_n-4S_n-1=4a_n，
即有（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）=2（a_n+a_n-1），
可得a_n-a_n-1=2，
則a_n=a₁+2（n-1）=2n：
（Ⅱ）b₁=1，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{4n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
前n項和T_n=1+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=1+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$--$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{17}{12}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{2n+3}{（n+1）（n+2）}$．

點評 本題考查數列的通項的求法，注意運用等差數列的通項公式，考查數列的求和方法：裂項相消求和，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．