Question

10．在四面體ABCD中，已知∠ADB=∠BDC=∠CDA=60°，AD=BD=3，CD=2，則四面體ABCD的外界球的半徑為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． 3
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設(shè)四面體ABCD的外接球球心為O，則O在過△ABD的外心N且垂直于平面ABD的垂線上，且點(diǎn)N為△ABD的中心．設(shè)P，M分別為AB，CD的中點(diǎn)，則N在DP上，且ON⊥DP，OM⊥CD，從而可求DM，MN，進(jìn)而可求四邊形DMON的外接圓的直徑，即可求得球O的半徑．

解答 解：設(shè)四面體ABCD的外接球球心為O，則O在過△ABD的外心N且垂直于平面ABD的垂線上．
由題設(shè)知，△ABD是正三角形，則點(diǎn)N為△ABD的中心．
設(shè)P，M分別為AB，CD的中點(diǎn)，則N在DP上，且ON⊥DP，OM⊥CD．
因?yàn)椤螩DA=∠CDB=∠ADB=60°，設(shè)CD與平面ABD所成角為θ，
∴cosθ=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，sinθ=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$．
在△DMN中，DM=$\frac{1}{2}CD$=1，DN=$\frac{2}{3}DP$=$\sqrt{3}$．
由余弦定理得MN=$\sqrt{1+3-2×1×\sqrt{3}×\frac{1}{\sqrt{3}}}$=$\sqrt{2}$．
∴四邊形DMON的外接圓的半徑OD=$\frac{MN}{sinθ}$=$\sqrt{3}$．
故球O的半徑R=$\sqrt{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查四面體ABCD的外接球，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定四面體ABCD的外接球球心位置是關(guān)鍵．