Question

19．若△ABC外接圓的圓心為O，半徑為4，$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+2$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，則$\overrightarrow{CA}$在$\overrightarrow{CB}$上的投影為$\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 運(yùn)用向量的平行四邊形法則，取BC的中點(diǎn)D，連接OD并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使得$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{OD}$，則OD⊥BC，且$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OE}$，再由勾股定理和向量的投影的概念即可求得結(jié)果．

解答 解：$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+2$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，即為
$\overrightarrow{AO}$=2（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$），
取BC的中點(diǎn)D，連接OD并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使得$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{OD}$，
則OD⊥BC，由于$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OE}$，
∴$\overrightarrow{AO}$=2$\overrightarrow{OE}$，
由|$\overrightarrow{AO}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=4，
∴|$\overrightarrow{OD}$|=1，
∴CD=$\sqrt{{4}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{15}$．
∴向量$\overrightarrow{CA}$在$\overrightarrow{CB}$方向上的投影為$\sqrt{15}$．
故答案為：$\sqrt{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)、向量的平行四邊形法則、三角形外心的性質(zhì)、向量的投影、勾股定理、向量共線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．