Question

9．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosϕ\\ y=sinϕ\end{array}\right.$（ϕ為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂是圓心在極軸上且經(jīng)過極點(diǎn)的圓，射線$θ=\frac{π}{3}$與曲線C₂交于點(diǎn)$D（2，\frac{π}{3}）$．
（1）求曲線C₁，C₂的普通方程；
（2）$A（{ρ_1}，θ），B（{ρ_2}，θ+\frac{π}{2}）$是曲線C₁上的兩點(diǎn)，求$\frac{1}{{{ρ_1}^2}}+\frac{1}{{{ρ_2}^2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）消去參數(shù)，可得曲線C₁的普通方程，利用曲線C₂是圓心在極軸上且經(jīng)過極點(diǎn)的圓，射線$θ=\frac{π}{3}$與曲線C₂交于點(diǎn)$D（2，\frac{π}{3}）$，可得曲線C₂的普通方程；
（2）曲線C₁的極坐標(biāo)方程為${ρ}^{2}=\frac{4}{4si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$，代入，可得$\frac{1}{{{ρ_1}^2}}+\frac{1}{{{ρ_2}^2}}$的值．

解答 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosϕ\\ y=sinϕ\end{array}\right.$（ϕ為參數(shù)），普通方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
曲線C₂是圓心在極軸上且經(jīng)過極點(diǎn)的圓，射線$θ=\frac{π}{3}$與曲線C₂交于點(diǎn)$D（2，\frac{π}{3}）$，曲線C₂的普通方程為（x-2）²+y²=4-----------（4分）
（2）曲線C₁的極坐標(biāo)方程為${ρ}^{2}=\frac{4}{4si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$，
所以$\frac{1}{{{ρ_1}^2}}+\frac{1}{{{ρ_2}^2}}$=$\frac{4si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}{4}$+$\frac{4co{s}^{2}θ+si{n}^{2}θ}{4}$=$\frac{5}{4}$------------------------（10分）

點(diǎn)評 本題考查參數(shù)方程與普通方程、極坐標(biāo)方程的互化，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．