Question

11．已知向量$\overrightarrow{OA}$=（3，4），$\overrightarrow{OB}$=（-9，2），$\overrightarrow{OC}$=（1，7）．
（1）分別求線段BC、AC的中點(diǎn)E、F坐標(biāo)；
（2）求AE，BF的交點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）在直線AB上求一點(diǎn)P，使|$\overrightarrow{AP}$|=$\frac{1}{3}$|$\overrightarrow{AB}$|．

Answer 1

分析 （1）先求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出E，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）先求出直線AE，BF的方程，然后解這兩個(gè)方程形成的方程組即得M點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）根據(jù)已知即得$\overrightarrow{AP}=±\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，設(shè)P（x₀，y₀），帶入A，B點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到關(guān)于x₀，y₀的二元一次方程組，求解方程組即得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）根據(jù)已知得：A（3，4），B（-9，2），C（1，7）；
根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，E（-4，$\frac{9}{2}$），F(xiàn)（2，$\frac{11}{2}$）；
（2）直線AE的方程為：y-4=$-\frac{1}{14}$（x-3），直線BF的方程為：y-2=$\frac{7}{22}$（x+9）；
聯(lián)立這兩方程解方程組得，x=$-\frac{5}{3}$，y=$\frac{13}{3}$；
∴M（$-\frac{5}{3}，\frac{13}{3}$）；
（3）$\overrightarrow{AB}=（-12，-2）$，點(diǎn)P在AB上，且$|\overrightarrow{AP}|=\frac{1}{3}|\overrightarrow{AB}|$；
∴$\overrightarrow{AP}=±\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，設(shè)P（x₀，y₀），$\overrightarrow{AP}=（{x}_{0}-3，{y}_{0}-4）$；
∴$（{x}_{0}-3，{y}_{0}-4）=±\frac{1}{3}（-12，-2）$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=-1}\\{{y}_{0}=\frac{10}{3}}\end{array}\right.，或\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=7}\\{{y}_{0}=\frac{14}{3}}\end{array}\right.$；
∴$P（-1，\frac{10}{3}），或P（7，\frac{14}{3}）$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量的起點(diǎn)是原點(diǎn)時(shí)，向量坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，直線的點(diǎn)斜式方程，以及由兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線斜率，共線向量基本定理，數(shù)乘的幾何意義．