Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n=a_n+1+2a_n•a_n+1，且a₁=1．
（1）證明{

1

an

}是等差數(shù)列；
（2）令b_n=a_n•a_n+1，求{b_n}的前n項(xiàng)的和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由數(shù)列{a_n}滿足a_n=a_n+1+2a_n•a_n+1，且a₁=1．變形為

1

an+1

-

1

an

=2，即可證明．
（2）由（1）可得：

1

an

=2n-1，a_n=

1

2n-1

．于是b_n=a_n•a_n+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答： 證明：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足a_n=a_n+1+2a_n•a_n+1，且a₁=1．
∴

1

an+1

-

1

an

=2，
∴{

1

an

}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為

1

a1

=1；
（2）解：由（1）可得：

1

an

=1+2（n-1）=2n-1，∴a_n=

1

2n-1

．
∴b_n=a_n•a_n+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．
∴{b_n}的前n項(xiàng)的和S_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．