Question

求證：1-ln2＜（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

）-lnn≤1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式

分析：根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)，記a_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

-lnn，求證出a_n＞1-ln2，再根據(jù)定積分的性質(zhì)，求證出（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

）-lnn≤1．問題得以證明

解答： 解：記a_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

-lnn，則a_n+1-a_n=ln（1-

1

n+1

）-

1

n+1

∴a_n+1＜a₁=1，
又∵lnn=ln（1+

1

n+1

）+ln（

1

n-2

）+…+ln2＜

1

n-1

+

1

n+2

+

1

2

+ln2，
∴a_n＞=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

-（

1

n-1

+

1

n+2

+

1

2

+ln2）=1+

1

n

-ln2＞1-ln2，
∴1-ln2＜（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

）-lnn
令 f（x）=

1

x

，則 f（x） 在區(qū)間[n，n+1]上的最大值為f（n）=

1

n

，最小值為f（n+1）=

1

n+1

，
由定積分性質(zhì)，得

1

n+1

＜

∫

n+1 n

f（x）dx＜

1

n

，
即

1

n+1

＜ln（n+1）-lnn＜

1

n

，
所以

1

2

＜ln 2＜1，

1

3

＜ln3-ln2＜

1

2

，
…

1

n+1

＜ln（n+1）-lnn＜

1

n

，
所以

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜ln （n+1）＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，
同理，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜lnn，
而當(dāng)n=1時(shí)，不等式的等號成立
所以 1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≤1+lnn，
1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

-lnn≤1，
綜上所述，1-ln2＜（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

）-lnn≤1．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列和不等式的關(guān)系，以及函數(shù)和不等式的關(guān)系，考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，知識的應(yīng)用能力，屬于難題