Question

17．已知A₁，A₂分別為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的左、右頂點，P為雙曲線上第一限內的點，直線l：x=1與x軸交于點C，若直線PA₁，PA₂分別交直線l于B₁，B₂兩點，且△A₁B₁C與A₂B₂C的面積相等，則直線PA₁的斜率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 設P（m，n），（m，n＞0），代入雙曲線的方程，求得左右頂點和兩直線的方程，可令x=1，求得交點B₁，B₂兩點的坐標，運用直角三角形的面積公式解方程可得m，進而得到n的值，可得直線PA₁的斜率．

解答 解：設P（m，n），（m，n＞0），即有$\frac{{m}^{2}}{4}$-$\frac{{n}^{2}}{9}$=1，①
由題意可得A₁（-2，0），A₂（2，0），
直線PA₁的方程為y=$\frac{n}{m+2}$（x+2），
令x=1可得y=$\frac{3n}{m+2}$；
直線PA₂的方程為y=$\frac{n}{m-2}$（x-2），
令x=1可得y=-$\frac{n}{m-2}$．
由直角三角形的面積公式可得
$\frac{1}{2}$•3•$\frac{3n}{m+2}$=$\frac{1}{2}$•1•$\frac{n}{m-2}$，
解得m=$\frac{5}{2}$，
代入①可得n=$\frac{9}{4}$，
則直線PA₁的斜率為$\frac{n}{m+2}$=$\frac{\frac{9}{4}}{\frac{5}{2}+2}$=$\frac{1}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查直線的斜率的求法，注意運用點滿足雙曲線的方程，聯(lián)立直線方程求交點，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．