Question

18．設(shè)P₁P₂P₃…P_n是圓的內(nèi)接正n邊形，O為圓心，求證：$\overrightarrow{O{P}_{1}}$$+\overrightarrow{O{P}_{2}}$$+\overrightarrow{O{P}_{3}}$+…+$\overrightarrow{O{P}_{n}}$=$\overrightarrow{0}$．

Answer 1

分析 分類討論，從而分偶數(shù)與奇數(shù)進行討論，從而證明．

解答 證明：①當n為偶數(shù)時，作圖如右圖，
故$\overrightarrow{O{P}_{1}}$+$\overrightarrow{O{P}_{\frac{n}{2}+1}}$=$\overrightarrow{0}$，
$\overrightarrow{O{P}_{2}}$+$\overrightarrow{O{P}_{\frac{n}{2}+2}}$=$\overrightarrow{0}$，
…，
$\overrightarrow{O{P}_{\frac{n}{2}}}$+$\overrightarrow{O{P}_{n}}$=$\overrightarrow{0}$，
故$\overrightarrow{O{P}_{1}}$$+\overrightarrow{O{P}_{2}}$$+\overrightarrow{O{P}_{3}}$+…+$\overrightarrow{O{P}_{n}}$=$\overrightarrow{0}$；
②當n為奇數(shù)時，作圖如右圖，
取各段弧的中點，
構(gòu)造正2n邊形，由①知，
$\overrightarrow{O{P}_{1}}$$+\overrightarrow{O{P}_{2}}$$+\overrightarrow{O{P}_{3}}$+…+$\overrightarrow{O{P}_{n}}$+$\overrightarrow{O{Q}_{1}}$+$\overrightarrow{O{Q}_{2}}$+…+$\overrightarrow{O{Q}_{n}}$=$\overrightarrow{0}$；
又∵$\overrightarrow{O{P}_{1}}$$+\overrightarrow{O{P}_{2}}$$+\overrightarrow{O{P}_{3}}$+…+$\overrightarrow{O{P}_{n}}$=$\overrightarrow{O{Q}_{1}}$+$\overrightarrow{O{Q}_{2}}$+…+$\overrightarrow{O{Q}_{n}}$，
∴$\overrightarrow{O{P}_{1}}$$+\overrightarrow{O{P}_{2}}$$+\overrightarrow{O{P}_{3}}$+…+$\overrightarrow{O{P}_{n}}$=$\overrightarrow{O{Q}_{1}}$+$\overrightarrow{O{Q}_{2}}$+…+$\overrightarrow{O{Q}_{n}}$=$\overrightarrow{0}$；
綜上所述，
$\overrightarrow{O{P}_{1}}$$+\overrightarrow{O{P}_{2}}$$+\overrightarrow{O{P}_{3}}$+…+$\overrightarrow{O{P}_{n}}$=$\overrightarrow{0}$．

點評 本題考查了分類討論與數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用及平面向量的應(yīng)用．