Question

8．已知點(diǎn)A（2，0），橢圓E：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，F(xiàn)是橢圓E的上焦點(diǎn)，直線AF的斜率為$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求E的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)A的動直線l與E相交于點(diǎn)P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和直線的斜率公式，以及a，b，c的關(guān)系，解方程可得橢圓方程；
（2）設(shè)l的方程為x=my+2，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，判別式大于0，運(yùn)用三角形的面積公式，由基本不等式可得最大值，即可得到m，進(jìn)而得到直線方程．

解答 解：（1）由e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，可得：
${e^2}=\frac{{{a^2}-{b^2}}}{a^2}=\frac{3}{4}$，即$\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{4}$，
設(shè)F（0，c），則$-\frac{c}{2}=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$c=\sqrt{3}$，
又a²-b²=c²=3，
∴a²=4，b²=1，
∴E的方程是$\frac{y^2}{4}+{x^2}=1$；
（2）設(shè)l的方程為x=my+2，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}x=my+2\\ \frac{y^2}{4}+{x^2}=1.\end{array}\right.$得（4m²+1）y²+16my+12=0，
y₁+y₂=-$\frac{16m}{1+4{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{12}{1+4{m}^{2}}$，
△=（16m）²-4×12×（4m²+1）=16（4m²-3）＞0，
${S_{△OPQ}}=\frac{1}{2}×2×|{{y_1}-{y_2}}|=|{{y_1}-{y_2}}|$=$\frac{{\sqrt{16（4{m^2}-3）}}}{{4{m^2}+1}}=\frac{{4\sqrt{4{m^2}-3}}}{{4{m^2}+1}}$，
令$\sqrt{4{m^2}-3}=t$，則${S_{△OPQ}}=\frac{4t}{{{t^2}+4}}=\frac{4}{{t+\frac{4}{t}}}$，
而$t+\frac{4}{t}≥4$當(dāng)且僅當(dāng)t=2，
即$m=±\frac{{\sqrt{7}}}{2}$時(shí)等號成立，此時(shí)S_△OPQ≤1．
∴當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程為$x=±\frac{{\sqrt{7}}}{2}y+2$，
即$2x±\sqrt{7}y-4=0$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和直線的斜率公式，考查直線方程的求法，注意運(yùn)用直線方程和橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理和三角形的面積公式及基本不等式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．