Question

9．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，C與過原點(diǎn)的直線相交于A，B兩點(diǎn)，連接AF，BF，若|$\overrightarrow{AB}$|=8，|$\overrightarrow{BF}$|=6，cos∠ABF=$\frac{3}{4}$，則C的離心率的值是6-2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 由已知條件，利用余弦定理求出|AF|，由橢圓的定義和橢圓的對(duì)稱性質(zhì)能求出橢圓的離心率．

解答 解：如圖所示
在△AFB中，由余弦定理可得：
|AF|²=|AB|²+|BF|²-2|AB||BF|cos∠ABF，
∵|AB|=8，|BF|=6，cos∠ABF=$\frac{3}{4}$，
∴|AF|²=8²+6²-2×8×6×$\frac{3}{4}$=28，
解得|AF|=2$\sqrt{7}$．
設(shè)F′為橢圓的右焦點(diǎn)，連接BF′，AF′．
根據(jù)對(duì)稱性和勾股定理的逆定理可得四邊形AFBF′是矩形．
∴|BF′|=|AF|=2$\sqrt{7}$，|FF′|=8．
∴2a=6+2$\sqrt{7}$，2c=8，解得a=3+$\sqrt{7}$，c=4．
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{4}{3+\sqrt{7}}$=6-2$\sqrt{7}$．
故答案為：6-2$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意余弦定理和橢圓的定義的合理運(yùn)用，屬于中檔題．