Question

11．如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱SD⊥底面ABCD，SD=DC=2，E是SC的中點(diǎn)，作EF⊥SB交SB于F．
（Ⅰ）求證：SA∥平面EDB；
（Ⅱ）求證：SB⊥平面EFD；
（Ⅲ）求三棱錐E-BFD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OE．然后利用三角形中位線的性質(zhì)可得OE∥SA，再由線面平行的判定定理證得SA∥平面BDE；
（Ⅱ）由SD=DC，E是SC的中點(diǎn)可得DE⊥SC，再由面面垂直的判定和性質(zhì)得到BC⊥平面SDC，從而得到BC⊥DE，進(jìn)一步得到SB⊥DE，結(jié)合已知EF⊥SB，由線面垂直的判定得結(jié)論；
（Ⅲ）由（Ⅱ）△DEF為直角三角形，通過解三角形求得兩直角邊長，再求出高BF，結(jié)合V_E-BFD=V_B-DEF求得三棱錐E-BFD的體積．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，
連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OE．
∵點(diǎn)O、E分別為AC、SC的中點(diǎn)，
∴OE∥SA，又OE?平面BDE，SA?平面BDE，
∴SA∥平面BDE；
（Ⅱ）證明：∵SD=DC，E是SC的中點(diǎn)，∴DE⊥SC，
又SD⊥底面ABCD，∴平面SDC⊥平面ABCD，
∵底面ABCD是正方形，∴BC⊥平面SDC，
∴BC⊥DE，
又SC∩BC=C，∴DE⊥平面SBC，
又SB?平面SBC，∴SB⊥DE，
又EF⊥SB，
EF∩ED=E，
∴SB⊥平面EFD；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知：△DEF為直角三角形，
∵SD=DC=2，E為SC中點(diǎn)，∴DE=$\sqrt{2}$，
Rt△SFE∽Rt△SCB，∴EF=$\frac{SE}{SB}•BC$，
$SE=\sqrt{2}$，$SB=\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}=2\sqrt{3}$，
∴$EF=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}×2=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴${S}_{△DEF}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$SF=\sqrt{S{E}^{2}-E{F}^{2}}=\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{6}}{3}）^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$BF=SB-SF=2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
∴${V}_{E-BFD}={V}_{B-DEF}=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{5\sqrt{3}}{3}=\frac{5}{9}$．

點(diǎn)評 本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，是中檔題．