Question

14．已知F為拋物線y²=2px（p＞0）的焦點，拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線分別交于A、B兩點．若△AFB為直角三角形，則雙曲線的離心率為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由已知條件推導(dǎo)出A，B兩點的縱坐標(biāo)，△AFB為直角三角形，$\frac{pb}{2a}$=p，由此能求出雙曲線的離心率．

解答 解：∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
∴雙曲線的漸近線方程是y=±$\frac{a}$x，
拋物線y²=2px的焦點坐標(biāo)（$\frac{p}{2}，0$），
又∵拋物線y²=2px的準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{p}{2}$，
∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線與拋物線y²=2px的準(zhǔn)線分別交于A，B兩點，
∴A，B兩點的縱坐標(biāo)分別是y=$\frac{pb}{2a}$ 和y=-$\frac{pb}{2a}$，
∵△AFB為直角三角形，∴$\frac{pb}{2a}$=p，即b=2a，c²-a²=4a²，
∴e=$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$．

點評 本題考查拋物線解得性質(zhì)以及雙曲線的離心率的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．