Question

12．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是菱形，∠BCD=60°，AB=PB=PD=2，PC=$\sqrt{3}$，AC與BD交于O點(diǎn)，E，H分別為PA，OC的中點(diǎn)．
（1）求證：PH⊥平面ABCD；
（2）求直線CE與平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OP，推導(dǎo)出OP⊥BD，AC⊥BD，從而BD⊥平面PAC，由此能證明PH⊥平面ABCD．
（2）過(guò)點(diǎn)O作OZ∥PH，以O(shè)為原點(diǎn)，OA、OB、OZ所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線CE與平面PAB所成角的正弦值．

解答 證明：（1）連結(jié)OP，如圖所示，
∵PB=PD，∴OP⊥BD，
在菱形ABCD中，AC⊥BD，
又∵AC∩OP=O，∴BD⊥平面PAC，
又PH?平面PAC，∴BD⊥PH，
在Rt△POB中，OB=1，PB=2，∴OP=$\sqrt{3}$，
又PC=$\sqrt{3}$，H為OC的中點(diǎn)，∴PH⊥平面ABCD．
解：（2）過(guò)點(diǎn)O作OZ∥PH，則OZ⊥平面ABCD，
如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，OA、OB、OZ所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（$\sqrt{3}，0，0$），B（0，1，0），C（-$\sqrt{3}$，0，0），P（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，$\frac{3}{2}$），E（$\frac{\sqrt{3}}{4}$，0，$\frac{3}{4}$），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{AP}$=（-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，0，$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{CE}$=（$\frac{5\sqrt{3}}{4}$，0，$\frac{3}{4}$），
設(shè)平面PAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-\sqrt{3}x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=-\frac{3\sqrt{3}}{2}x+\frac{3}{2}z=0}\end{array}\right.$，
令x=1，則$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}，\sqrt{3}$），
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CE}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{CE}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}•\frac{\sqrt{21}}{2}}$=$\frac{4}{7}$．
∴直線CE與平面PAB所成角的正弦值為$\frac{4}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查垂直的證明，考查線面所成角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．