Question

3．從拋物線C：x²=2py（p＞0）外一點P作該拋物線的兩條切線PA、PB（切點分別為A、B），分別與x軸相交于C、D，若AB與y軸相交于點Q，點M（x₀，4）在拋物線C上，且|MF|=6（F為拋物線的焦點）．
（1）求拋物線C的方程；
（2）求證：四邊形PCQD是平行四邊形．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線的定義，求出p，即可求拋物線C的方程；
（2）證明線段CD被線段PQ平分，即可證明四邊形PCQD是平行四邊形．

解答 （1）解：因為$|{MF}|=4+\frac{p}{2}=6$
所以p=4，即拋物線C的方程是x²=8y…（3分）
（2）證明：由x²=8y得$y=\frac{x^2}{8}$，${y^'}=\frac{x}{4}$…（4分）
設(shè)$A（{{x_1}，\frac{x_1^2}{8}}），B（{{x_2}，\frac{x_2^2}{8}}）$，
則直線PA的方程為$y-\frac{x_1^2}{8}=\frac{x_1}{4}（{x-{x_1}}）$，①…（5分）
則直線PB的方程為$y-\frac{x_2^2}{8}=\frac{x_2}{4}（{x-{x_2}}）$，②…（6分）
由①和②解得：$x=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，y=\frac{{{x_1}{x_2}}}{8}$，所以$P（{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，\frac{{{x_1}{x_2}}}{8}}）$…（7分）
設(shè)點Q（0，t），則直線AB的方程為y=kx+t…（8分）
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=8y\\ y=kx+t\end{array}\right.$得x²-8kx-8t=0
則x₁+x₂=8k，x₁x₂=-8t…（9分）
所以P（4k，-t），所以線段PQ被x軸平分，即被線段CD平分，
在①中，令y=0解得$x=\frac{x_1}{2}$，所以$C（{\frac{x_1}{2}，0}）$，同理得$D（{\frac{x_2}{2}，0}）$，所以線段CD的中點
坐標為$（{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{4}，0}）$，即（2k，0）…（10分）
又因為直線PQ的方程為$y=-\frac{t}{2k}x+t$，所以線段CD的中點（2k，0）在直線PQ上，
即線段CD被線段PQ平分…（11分）
因此，四邊形PCQD是平行四邊形…（12分）

點評 本題考查拋物線的定義與方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．