Question

6．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B在橢圓上，且BF⊥x軸，直線AB交y軸于點(diǎn)P，若$\overrightarrow{AP}$=$\sqrt{2}$$\overrightarrow{PB}$，則橢圓的離心率是（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 先求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用$\overrightarrow{AP}$=$\sqrt{2}$$\overrightarrow{PB}$，得到a與c的關(guān)系，從而求出離心率．

解答 解：如圖，由于BF⊥x軸，
故x_B=-c，y_B =$\frac{^{2}}{a}$，即B（-c，$\frac{^{2}}{a}$），
設(shè)P（0，t），又A（a，0），
∵$\overrightarrow{AP}$=$\sqrt{2}$$\overrightarrow{PB}$，
∴（-a，t）=$\sqrt{2}$（-c，$\frac{^{2}}{a}$-t）．
∴a=$\sqrt{2}$c，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
另解：由$\frac{AP}{PB}$=$\frac{AO}{OF}$，即$\sqrt{2}$=$\frac{a}{c}$，
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則的應(yīng)用，屬于中檔題．