Question

7．橢圓中心在原點，一個焦點F（$\sqrt{2}$，0），且定點P（1，0）到橢圓上各點距離的最小值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求橢圓方程．

Answer 1

分析 設橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由題意可得a²-b²=2，設橢圓上任一點M（acosα，bsinα），0≤α＜2π，運用兩點的距離公式和同角的平方關系，以及余弦函數(shù)的值域，結合二次函數(shù)的最值的求法，可得最小值，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程．

解答 解：設橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得c=$\sqrt{2}$，即a²-b²=2，
設橢圓上任一點M（acosα，bsinα），0≤α＜2π，
|PM|=$\sqrt{（acosα-1）^{2}+^{2}si{n}^{2}α}$
=$\sqrt{2co{s}^{2}α-2acosα+1+^{2}}$，
令cosα=t（-1≤t≤1），
則|PM|=$\sqrt{2{t}^{2}-2at+1+^{2}}$
=$\sqrt{2（t-\frac{a}{2}）^{2}+1+^{2}-\frac{{a}^{2}}{2}}$，
若$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a≤2，即有t=$\frac{a}{2}$時，取得最小值，
且為$\sqrt{1+^{2}-\frac{{a}^{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即$\frac{{a}^{2}}{2}$-b²=$\frac{1}{2}$，再由a²-b²=2，
解得a²=3，b²=1，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
若a＞2，即$\frac{a}{2}$＞1，即有t=1時，取得最小值，
且為$\sqrt{3-2a+^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即2a-b²=$\frac{5}{2}$，又a²-b²=2，
解得a=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，b²=$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{3}{2}+\sqrt{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{\sqrt{2}-\frac{1}{2}}$=1．
綜上可得，橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1
或$\frac{{x}^{2}}{\frac{3}{2}+\sqrt{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{\sqrt{2}-\frac{1}{2}}$=1．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用待定系數(shù)法，考查最值的求法，注意運用換元法和余弦函數(shù)的值域以及二次函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．