【題目】已知函數(shù).
(1)求在上的最小值;
(2)若存在兩個不同的實數(shù),使得,求證:.
【答案】(1);(2)證明見解析.
【解析】
試題分析:(1)對進行求導(dǎo),得到其單調(diào)性,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,對導(dǎo)函數(shù)的零點與所給區(qū)間的關(guān)系進行討論,即分為,和三種情形,根據(jù)單調(diào)性求得最值;(2)令,易得當時,,設(shè),,故,根據(jù)單調(diào)性得證.
試題解析:(1)根據(jù)題意,得,當時,;當時.
故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
當,即時,在上單調(diào)遞減,;
當,即時,;
當時,在上單調(diào)遞增,.
所以.
(2)構(gòu)造函數(shù),
則.
因為,所以,函數(shù)單調(diào)遞增,
所以,
所以在區(qū)間上,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,
所以,所以當時,.
根據(jù)(1)中的性質(zhì),若存在兩個不同的實數(shù),使得,不妨設(shè),則一定有,,當時,,
所以,
因為在上單調(diào)遞增,所以,.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若對于定義在上的連續(xù)函數(shù),存在常數(shù)(),使得對任意的實數(shù)成立,則稱是回旋函數(shù),且階數(shù)為.
(1)試判斷函數(shù)是否是一個階數(shù)為1的回旋函數(shù),并說明理由;
(2)已知是回旋函數(shù),求實數(shù)的值;
(3)若回旋函數(shù)()在恰有100個零點,求實數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費,需了解年宣傳費(單位:千元)對年利潤(單位:萬元)的影響,對近5年的宣傳費和年利潤()進行了統(tǒng)計,列出了下表:
(單位:千元) | 2 | 4 | 7 | 17 | 30 |
(單位:萬元) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
員工小王和小李分別提供了不同的方案.
(1)小王準備用線性回歸模型擬合與的關(guān)系,請你幫助建立關(guān)于的線性回歸方程;(系數(shù)精確到0.01)
(2)小李決定選擇對數(shù)回歸模型擬合與的關(guān)系,得到了回歸方程:,并提供了相關(guān)指數(shù).請用相關(guān)指數(shù)說明選擇哪個模型更合適,并預(yù)測年宣傳費為4萬元的年利潤.(精確到0.01)(小王也提供了他的分析分析數(shù)據(jù))
參考公式:相關(guān)指數(shù)
回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:
,.參考數(shù)據(jù):,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(Ⅰ)當a=﹣2時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若g(x)= +在1,+∞)上是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐PABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD垂直于底面ABCD,PD=DC,點E是PC的中點.
(Ⅰ)求證:PA∥平面EBD;
(Ⅱ)求二面角EBDP的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠每日生產(chǎn)某種產(chǎn)品噸,當日生產(chǎn)的產(chǎn)品當日銷售完畢,產(chǎn)品價格隨產(chǎn)品產(chǎn)量而變化,當時,每日的銷售額(單位:萬元)與當日的產(chǎn)量滿足,當日產(chǎn)量超過噸時,銷售額只能保持日產(chǎn)量噸時的狀況.已知日產(chǎn)量為噸時銷售額為萬元,日產(chǎn)量為噸時銷售額為萬元.
(1)把每日銷售額表示為日產(chǎn)量的函數(shù);
(2)若每日的生產(chǎn)成本(單位:萬元),當日產(chǎn)量為多少噸時,每日的利潤可以達到最大?并求出最大值.(注:計算時取)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在點處的切線方程;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若存在,使得(是自然對數(shù)的底數(shù)),求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-5:不等式選講
已知函數(shù).
(I)求證:恒成立;
(II)若存在實數(shù),使得,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列4個命題:
①為了了解800名學(xué)生對學(xué)校某項教改試驗的意見,打算從中抽取一個容量為40的樣本,考慮用系統(tǒng)抽樣,則分段的間隔為40;
②四邊形為長方形,,,為中點,在長方形內(nèi)隨機取一點,取得的點到的距離大于1的概率為;
③把函數(shù)的圖象向右平移個單位,可得到的圖象;
④已知回歸直線的斜率的估計值為,樣本點的中心為,則回歸直線方程為.
其中正確的命題有__________.(填上所有正確命題的編號)
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