Question

已知y=f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，x∈[0，1]時(shí)，f（x）=

4x+a

4x+1

．
（1）求x∈[-1，0）時(shí)，y=f（x）解析式；
（2）解不等式f（x）＞

1

5

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由奇函數(shù)可得f（0）=0，解得a=-1，當(dāng)x∈[-1，0）時(shí)，-x∈（0，1]，代入已知式子，由函數(shù)的奇偶性可得；
（2）由（1）知f（x）=

4x-1

4x+1

，x∈[-1，1]，不等式可化為

4x-1

4x+1

＞

1

5

，由對(duì)數(shù)函數(shù)的知識(shí)可解．

解答： 解：（1）∵y=f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，解得a=-1，
當(dāng)x∈[-1，0）時(shí)，-x∈（0，1]，
∴f（-x）=

4-x-1

4-x+1

=

1-4x

1+4x

，
∵函數(shù)為奇函數(shù)，∴-f（x）=f（-x）=

1-4x

1+4x

，
∴f（x）=-

1-4x

1+4x

=

4x-1

4x+1

（2）由（1）知f（x）=

4x-1

4x+1

，x∈[-1，1]，
∴

4x-1

4x+1

＞

1

5

，變形可得4^x＞

3

2

解得x∈（log₄

3

2

，1]．
∴不等式f（x）＞

1

5

的解集是（log₄

3

2

，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的求解，涉及函數(shù)的奇偶性和對(duì)數(shù)函數(shù)，屬基礎(chǔ)題．